北京市清华附中高一期末数学试卷(理科)

时间:2019-05-23 18:55:47标签:

2015-2016学年北京市清华附中高一(下)期末数学试卷(理科)


一、选择题

1.已知集合U={1234},集合A={134},B={24},则集合(∁UA∪B=(  )

A.{2} B.{4} C.{13} D.{24}

2x20x0的(  )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也必要条件

3.在等比数列{an}中,a2=6a3=18,则a1+a2+a3+a4=(  )

A26     B40     C54     D80

4.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.若a1=d=1,则

A10     B C D +2

5.为了得到函数y=sin2x)的图象,可以将函数y=sin2x的图象(  )

A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

6.已知平面向量满足||==2,( +2=6,则的夹角为(  )

A B C D

7.己知函数fx)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR,都有fx+2=fx).当0x1对,fx=x2.若直线y=x+a与函数y=fx)的图象在[02]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是(  )

A0      B0 C0 D

8.设△ABCP0是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则(  )

A.∠ABC=90°     B.∠BAC=90°     CAB=AC    DAC=BC

二、填空题

9.已知两点A11),B(﹣12),若=,则C点坐标是______

10.在等差数列{an}中,2a1+a4+a7)+3a9+a11=24,则此数列的前13项之和等于______

11.设函数,则实数a的取值范围是______

12.若正数ab满足a+b=10,则+的最大值为______

13.在平面直角坐标系xOy中,A10),函数y=ex的图象与y轴的交点为BP为函数y=ex图象上的任意一点,则的最小值______

14.已知点A),B1),C0),若这三个点都在函数fx=sinωx的图象上,则正数ω的 所有取值的集合为______

三、解答题.

15.已知{an}是等差数列,满足a1=3a4=12,数列{bn}满足b1=4b4=20,且{bnan}为等比数列.

1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

2)求数列{bn}的前n项和.

16.已知函数fx=sinxcosx+cos2x

1)求fx)的最小正周期;

2)求fx)的单调递减区间;

3)若函数fx)在区间[0m]上恰好有10个零点,求正数m的最小值.

17.如图,AB是单位圆O上的点,CD分别是圆Ox轴的两个交点,△ABO为正三角形.

1)若点A的坐标为,求cosBOC的值;

2)若∠AOC=x0x),四边形CABD的周长为y,试将y表示成x的函数,并求出y的最大值.

18.已知函数fx=x2+ax+aex,其中aR

1)求函数fx)的单调区间;

2)若存在mn∈(23),且mn,使得fm=fn),求实数a的取值范围.

19.设函数fx=lnx+1)+ax2x),其中aR

1)当a=0时,求证:fx)<x,对任意的x∈(0,+)成立;

2)讨论函数fx)极值点的个数,并说明理由;

3)若∀x0fx)≥0成立,求a的取值范围.

20.设集合S={x|x=kN*}.

1)请写出S的一个4元素,使得子集中的4个元素恰好构成等差数列;

2)若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中,且公比为q,求证:q∈(0);

3)设正整数n1,若Sn元子集A满足:对任意的xyA,且xy,有|xy|≥,求证:n15


2015-2016学年北京市清华附中高一(下)期末数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题

1.已知集合U={1234},集合A={134},B={24},则集合(∁UA∪B=(  )

A.{2} B.{4} C.{13} D.{24}

【考点】交、并、补集的混合运算.

【分析】根据补集与并集的定义,进行计算即可.

【解答】解:集合U={1234},

A={134},B={24},

∴∁UA={2},

∴(∁UA∪B={24}.

故选:D

2x20x0的(  )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】根据x20,得到x的范围和x0比较即可.

【解答】解:由x20得到:x0

x0推不出x0,不是充分条件,

x0能推出x0,是必要条件,

x20x0的必要不充分条件,

故选:B

3.在等比数列{an}中,a2=6a3=18,则a1+a2+a3+a4=(  )

A26     B40     C54     D80

【考点】等比数列的前n项和.

【分析】根据等比数列{an}中,a2=6a3=18,求得数列的首项与公比,即可求和.

【解答】解:∵等比数列{an}中,a2=6a3=18

=3 =2

a1+a2+a3+a4=2+618+54=40

故选B

4.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.若a1=d=1,则的最小值为(  )

A10     B C D +2

【考点】等差数列的前n项和.

【分析】由已知条件推导出==,由此利用均值定理取最小值.

【解答】解:∵等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sna1=d=1

=

=1++

=

+=

当且仅当,即n=4时,取最小值

故选:B

5.为了得到函数y=sin2x)的图象,可以将函数y=sin2x的图象(  )

A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

【考点】五点法作函数y=Asinωx+φ)的图象.

【分析】先将函数变形,再利用三角函数的图象的平移方法,即可得到结论.

【解答】解:∵函数y=sin2x=sin[2x)],

∴为了得到函数y=sin2x)的图象,可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度

故选A

6.已知平面向量满足||==2,( +2=6,则的夹角为(  )

A B C D

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】根据条件进行向量数量积的运算即可得出,从而可求出的值,进而便可得出向量的夹角.

【解答】解:

=

=

=6

故选:C

7.己知函数fx)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR,都有fx+2=fx).当0x1对,fx=x2.若直线y=x+a与函数y=fx)的图象在[02]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是(  )

A0      B0 C0 D

【考点】根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质.

【分析】由题意可得函数的图象,属性结合可得当直线为图中的m,或n是满足题意,求出其对应的a值即可.

【解答】解:由对任意的xR,都有fx+2=fx)可知,函数的周期为T=2

结合函数为偶函数,且当0x1对,fx=x2可作出函数y=fx)和直线y=x+a的图象,

当直线为图中的直线mn时,满足题意,易知当直线为m时,过原点,a=0

当直线为n时,直线与曲线相切,联立,消y可得x2xa=0

由△=1+4a=0可得a=,故a的值为0,或

故选C

8.设△ABCP0是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则(  )

A.∠ABC=90°     B.∠BAC=90°     CAB=AC    DAC=BC

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】设||=4,则||=1,过点CAB的垂线,垂足为H,在AB上任取一点P,设HP0=a,则由数量积的几何意义可得||2﹣(a+1)||+a0恒成立,只需△=a+124a=a120即可,由此能求出△ABC是等腰三角形,AC=BC

【解答】解:设||=4,则||=1,过点CAB的垂线,垂足为H

AB上任取一点P,设HP0=a,则由数量积的几何意义可得,

=||||=||2﹣(a+1)||,

=a

于是恒成立,

整理得||2﹣(a+1)||+a0恒成立,

只需△=a+124a=a120即可,于是a=1

因此我们得到HB=2,即HAB的中点,故△ABC是等腰三角形,

所以AC=BC

故选:D

二、填空题

9.已知两点A11),B(﹣12),若=,则C点坐标是

【考点】平面向量的坐标运算.

【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出.

【解答】解:∵ =

=

=

=

故答案为:

10.在等差数列{an}中,2a1+a4+a7)+3a9+a11=24,则此数列的前13项之和等于26

【考点】数列的函数特性.

【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出.

【解答】解:等差数列{an}中,2a1+a4+a7)+3a9+a11=24

6a4+6a10=24

2a7=4,即a7=2

则此数列的前13项之和S13==13a7=26

故答案为:26

11.设函数,则实数a的取值范围是 ﹣3a1

【考点】其他不等式的解法;分段函数的解析式求法及其图象的作法;指数函数的单调性与特殊点.

【分析】由于函数为分段函数,可分别讨论当a0a0两种情况,进而求出实数a的取值范围.

【解答】解:函数fx)为分段函数,当a0时,1,得0a1

a0时,1,解得a>﹣3,即﹣3a0

故答案为:﹣3a1

12.若正数ab满足a+b=10,则+的最大值为

【考点】函数的最值及其几何意义.

【分析】对无理数可以先求平方,再利用均值定理求出最值,最后得出原表达式的最大值.

【解答】解:正数ab满足a+b=10

y=+

y2=a+2+b+3+2

a+b=10

15=a+2+b+32(当a+2=b+3时等号成立),

y230

+的最大值为

故答案为:

13.在平面直角坐标系xOy中,A10),函数y=ex的图象与y轴的交点为BP为函数y=ex图象上的任意一点,则的最小值1

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】由题意可得向量的坐标,进而可得=x0+,构造函数gx=x+ex,通过求导数可得其极值,进而可得函数的最小值,进而可得答案.

【解答】解:由题意可知A10),B01),

=01)﹣(10=(﹣11),

Px0),所以=x0),

=x0+

构造函数gx=x+ex,则g′x=1+ex

令其等于0可得x=0,且当x0时,g′x)<0

x0时,g′x)>0

故函数gx)在x=0处取到极小值,

gminx=g0=1

的最小值为:1

故答案为:1

14.已知点A),B1),C0),若这三个点都在函数fx=sinωx的图象上,则正数ω的 所有取值的集合为{ω|ω=8k+2kN}{ω|ω=12k+2,或12k+4kN}{24}. 

【考点】y=Asinωx+φ)中参数的物理意义.

【分析】由条件利用正弦函数的图象特征,分类讨论,求得每种情况下正数ω的值,从而得出结论.

【解答】解:若三个点都在函数fx=sinωx的图象上,

则有sinω•=sinω•=1sinω•=0

求得正数ω的 所有取值的集合为:{ω|ω=8k+2kN}{ω|ω=12k+2,或12k+4kN}{24}.

故答案为:{ω|ω=8k+2kN}{ω|ω=12k+2,或12k+4kN}{24}.

三、解答题.

15.已知{an}是等差数列,满足a1=3a4=12,数列{bn}满足b1=4b4=20,且{bnan}为等比数列.

1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

2)求数列{bn}的前n项和.

【考点】数列的求和;数列递推式.

【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求数列的通项公式;

2)利用分组求和的方法求解数列的和,由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和.

【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得

d===3

an=a1+(n1d=3nn=12).

∴数列{an}的通项公式为:an=3n

设等比数列{bnan}的公比为q,由题意得:

q3===8,解得q=2

bnan=b1a1qn1=2n1

从而bn=3n+2n1n=12).

∴数列{bn}的通项公式为:bn=3n+2n1

2)由(1)知bn=3n+2n1n=12).

数列{3n}的前n项和为nn+1),数列{2n1}的前n项和为=2n1

∴数列{bn}的前n项和为nn+1)+2n1

16.已知函数fx=sinxcosx+cos2x

1)求fx)的最小正周期;

2)求fx)的单调递减区间;

3)若函数fx)在区间[0m]上恰好有10个零点,求正数m的最小值.

【考点】正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法.

【分析】(1)根据二倍角及辅助角公式求得fx)的解析式,利用周期公式即可求得fx)的最小正周期;

2)令2kπ+2x+2kπ+,函数fx)单调递减,解得fx)的单调递减区间;

3)根据正弦函数图象,fx=0sin2x+=0,解得2x+=kπ,(kZ),当k=10,为fx)的第10个零点,求得m的最小值.

【解答】解:(1fx=sinxcosx+cos2x

=sin2x+cos2x+

=sin2x+

最小正周期T==

fx)的最小正周期π

2)令2kπ+2x+2kπ+,(kZ),

解得:+x+,(kZ),

∴函数的单调递减区间为:[++](kZ);

3)函数fx)在区间[0m]上恰好有10个零点,

由正弦函数周期性,可知:fx=0

sin2x+=0

解得:2x+=kπ,(kZ),

x=

∴当k=10x=

正数m的最小值

17.如图,AB是单位圆O上的点,CD分别是圆Ox轴的两个交点,△ABO为正三角形.

1)若点A的坐标为,求cosBOC的值;

2)若∠AOC=x0x),四边形CABD的周长为y,试将y表示成x的函数,并求出y的最大值.

【考点】在实际问题中建立三角函数模型;三角函数的最值;平面直角坐标系与曲线方程.

【分析】(1)根据△ABO为正三角形求得∠BOA,利用点A的坐标求得sinAOCcosAOC,进而利用两角和公式求得cosBOC

2)利用余弦定理分别求得ACBD,进而根据△ABO为正三角形求得ABCD可知,四边相加得到y的函数解析式,利用两角和公式化简整理后,利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值.

【解答】解:(1)∵△ABO为正三角形,

∴∠BOA=60°

∵点A的坐标为

tanAOC=

sinAOC=cosAOC=

cosBOC=cos(∠AOC+60°=cosAOCcos60°sinAOCsin60°=

2)由余弦定理可知AC==2sinBD==2sin),

AB=OB=1CD=2

=

=

=0x

∴当x=时,ymax=5

18.已知函数fx=x2+ax+aex,其中aR

1)求函数fx)的单调区间;

2)若存在mn∈(23),且mn,使得fm=fn),求实数a的取值范围.

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;

2)结合(1)得到fx)在(02a)递增,在(2a,+)递减,满足条件,从而得到关于a的不等式,解出即可.

【解答】解:(1)∵fx=x2+ax+aex

f′x=

①a20a2时,2a0

f′x)>0,解得:2ax0

f′x)<0x0x2a

fx)在(﹣2a)递减,在(2a0)递增,在(0,+)递减;

②a2=0a=2时,f′x=0fx)在R递减;

③a20a2时,2a0

f′x)>0,解得:0x2a

f′x)<0x2ax0

fx)在(﹣0)递减,在(02a,)递增,在(2a,+)递减;

2)由(1)得:22a3,解得:﹣1a0

19.设函数fx=lnx+1)+ax2x),其中aR

1)当a=0时,求证:fx)<x,对任意的x∈(0,+)成立;

2)讨论函数fx)极值点的个数,并说明理由;

3)若∀x0fx)≥0成立,求a的取值范围.

【考点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用.

【分析】(1)求出fx)的表达式,令gx=lnx+1)﹣x,根据函数的单调性求出gx)<g0=0,从而证出结论;

2)求出fx)的导数,令gx=2ax2+axa+1,通过讨论a的范围,判断函数的单调性,从而求出函数的极值的个数;

3)通过讨论a的范围,结合函数的单调性求出满足题意的a的范围即可.

【解答】解:(1a=0时,fx=lnx+1),定义域是(﹣1,+),

gx=lnx+1)﹣xg′x=1=0

gx)在(0,+)递减,

gx)<g0=0

fx)<x,对任意的x∈(0,+)成立;

2)函数fx=lnx+1)+ax2x),其中aRx∈(﹣1,+).

f′x=

gx=2ax2+axa+1

i)当a=0时,gx=1,此时f′x)>0,函数fx)在(﹣1,+)上单调递增,无极值点.

ii)当a0时,△=a28a1a=a9a8).

0a时,△≤0gx)≥0f′x)≥0,函数fx)在(﹣1,+)上单调递增,无极值点.

a时,△>0,设方程2ax2+axa+1=0的两个实数根分别为x1x2x1x2

x1+x2=

x1<﹣x2>﹣

g(﹣1)>0,可得﹣1x1<﹣

∴当x∈(﹣1x1)时,gx)>0f′x)>0,函数fx)单调递增;

x∈(x1x2)时,gx)<0f′x)<0,函数fx)单调递减;

x∈(x2,+)时,gx)>0f′x)>0,函数fx)单调递增.

因此函数fx)有两个极值点.

iii)当a0时,△>0.由g(﹣1=10,可得x1<﹣1x2

∴当x∈(﹣1x2)时,gx)>0f′x)>0,函数fx)单调递增;

x∈(x2,+)时,gx)<0f′x)<0,函数fx)单调递减.

因此函数fx)有一个极值点.

综上所述:当a0时,函数fx)有一个极值点;

0a时,函数fx)无极值点;

a时,函数fx)有两个极值点.

3)由(2)可知:

0a时,函数fx)在(0,+)上单调递增.

f0=0

x∈(0,+)时,fx)>0,符合题意.

a1时,由g0)≥0,可得x20,函数fx)在(0,+)上单调递增.

f0=0

x∈(0,+)时,fx)>0,符合题意.

1a时,由g0)<0,可得x20

x∈(0x2)时,函数fx)单调递减.

f0=0

x∈(0x2)时,fx)<0,不符合题意,舍去;

a0时,设hx=xlnx+1),x∈(0,+),h′x=0

hx)在(0,+)上单调递增.

因此x∈(0,+)时,hx)>h0=0,即lnx+1)<x

可得:fx)<x+ax2x=ax2+(1ax

x1时,

ax2+(1ax0,此时fx)<0,不合题意,舍去.

综上所述,a的取值范围为[01].

20.设集合S={x|x=kN*}.

1)请写出S的一个4元素,使得子集中的4个元素恰好构成等差数列;

2)若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中,且公比为q,求证:q∈(0);

3)设正整数n1,若Sn元子集A满足:对任意的xyA,且xy,有|xy|≥,求证:n15

【考点】数列的应用.

【分析】(1)由题设,一个4元素恰好构成等差数列;4个元素通分后具有分母相同,分子成等差关系的特点.

2)由题设,公比为qq是有理数,设,(ab互质),构造无穷递减等比数列证明.

3)在(0∪S中,对任意的xyA,且xy,有|xy|≥,满足条件有7个数.在(1∪S中,最多有1,满足条件有8个数,即可得到答案.

【解答】解:(1S的一个4元素恰好构成等差数列,S={}

2)由题意,数列{an}是无穷递减等比数列,q是有理数,设,(ab互质),

S中的数(kN*),则b必为1

,(aN+),

q∈(0];

3)证明:在(0∪S中,对任意的xyA,且xy,有|xy|≥

∴在(0∪S中的元素个数不超过.最多有7个数.

在(1∪S中,满足条件有1,最多8个数,

7+815,即n15.得证.

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