上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷

时间:2019-07-08 15:06:25标签:

2015-2016学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷

一、填空题(本大题共36分,共有12题,每题3分)

1.数19的等差中项是______

2.若线性方程组的增广矩阵为

3.行列式中元素8的代数余子式的值为______

4.若向量=12),=(﹣13),=3,则向量的单位向量=______

5.等差数列{an}中,a1=1a3=3an=9,则n=______

6.已知向量=12),=1+xx),且,则x的值为______

7.已知=,若实数λ满足,则λ的值为______

8.一个算法的程序框图如图所示,则该算法运行后输出的结果为______

9.关于x的方程=0的解为______

10.若无穷等比数列{an}的各项和为3,则首项a1的取值范围为______

11.已知正方形ABCD的边长为1M是正方形ABCD四边上或内部的动点,则的取值范围是______

12.定义=nN*)为向量=xnyn)到向量=xn+1yn+1)的一个矩阵变换,设向量=cosαsinα),O为坐标原点,则||=______

二、选择题(本大题满分12分,共4题,每题3)

13.用数学归纳法证明“1+a+a2++an+1=时,在验证n=1成立时,左边应该是(  )

A1+a+a2      B1+a+a2+a3 C1+a   D1

14.下列命题正确的是(  )

A.若an•bn=a0,则an0bn0

B.若an•bn=0,则an=0bn=0

C.若无穷数列{an}有极限,且它的前n项和为Sn,则=a1+a2++an

D.若无穷数列{an}有极限,则an=an+1

15.如图,ABCD是平面上的任意四点,下列式子中正确的是(  )

A +=+    B +=+    C +=+    D +=+

16.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若已知S6S7S7S8,则下列叙述中正确的个数有(  )

①S7是所有SnnN*)中的最大值;

②a7是所有annN*)中的最大值;

公差d一定小于0

④S9一定小于S6

A1  B2  C3  D4

三、解答题

17.已知,xy的方程组

1)求DDxDy

2)当实数m为何值时方程组无解;

3)当实数m为何值时方程组有解,并求出方程组的解.

18.已知等比数列{an}的首项为1,公比为q0q1),它的前n项和为Sn,且Tn=,求Tn的值.

19.已知向量=17),=51),=21)(其中O为坐标原点),点P是直线OC上的一个动点.

1)若,求的坐标;

2)当取最小值时,求cosAPB的值.

20.已知无穷等数列{an}中,首项a1=1000,公比q=,数列{bn}满足bn=lga1+lga2++lgan).

1)求数列{bn}的通项公式;

2)求数列{bn}的前n项和的最大值.

21.设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+qnN*pq为常数),a1=2a2=1a3=q3p

1)求pq的值;

2)求数列{an}的通项公式;

3)记集合M={n|λnN*},若M中仅有3个元素,求实数λ的取值范围.


 

2015-2016学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共36分,共有12题,每题3分)

1.数19的等差中项是5

【考点】等差数列的通项公式.

【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9,解之可得.

【解答】解:解:设19两数的等差中项为a

则可得2a=1+9

解得a=5

故答案为:5

2.若线性方程组的增广矩阵为,则该线性方程组的解是

【考点】二元一次方程组的矩阵形式.

【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组,根据方程解出xy,即可

【解答】解:由二元线性方程组的增广矩阵为

可得到二元线性方程组的表达式

故答案为

3.行列式中元素8的代数余子式的值为 ﹣1

【考点】三阶矩阵.

【分析】由代数余子式的定义A12==1即可求得答案.

【解答】解:设A=

元素8的代数余子式A12==1

故答案为:﹣1

4.若向量=12),=(﹣13),=3,则向量的单位向量= ()或(﹣,﹣) 

【考点】平面向量的坐标运算.

【分析】利用平面向量坐标运算公式求解.

【解答】解:∵向量=12),=(﹣13),=3

=36)﹣(﹣13=43),

∴向量的单位向量==±=±().

故答案为:()或(﹣,﹣).

5.等差数列{an}中,a1=1a3=3an=9,则n=6

【考点】等差数列的通项公式.

【分析】根据等差数列的通项公式先求出d,然后在利用等差数列的通项公式求解即可.

【解答】解:等差数列{an}中,a1=1a3=3

a3=1+2d=3

d=2

an=9=1+(n1)×2

解得n=6

故答案为6

6.已知向量=12),=1+xx),且,则x的值为

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】由,可得=0,即可得出.

【解答】解:∵

=1+x)+2x=1+3x=0

解得x=

故答案为:﹣

7.已知=,若实数λ满足,则λ的值为 ﹣3

【考点】向量的线性运算性质及几何意义.

【分析】根据向量关系作出平面图形,由线段长度比值可得出答案.

【解答】解:∵=,∴PP1P2三点共线,且P2在线段P1P的反向延长线上,P2P1=P2P

=3

故答案为:﹣3

8.一个算法的程序框图如图所示,则该算法运行后输出的结果为1320

【考点】程序框图.

【分析】框图首先先给i赋值12,给s赋值1,然后判断判断框中的条件是否满足,满足则执行s=s×ii=i1,不满足则跳出循环输出s的值.

【解答】解:框图首先给i赋值12,给s赋值1

判断1210成立,执行s=1×12=12i=121=11

判断1110成立,执行s=12×11=132i=111=10

判断1010成立,执行s=132×10=1320i=101=9

判断910不成立,跳出循环,输出s的值为1320

故答案为:1320

9.关于x的方程=0的解为x=2x=3

【考点】三阶矩阵.

【分析】将行列式展开,整理得=x25x+6,由x25x+6=0,即可求得x的值.

【解答】解: =1×2×9+x×4×1+1×3×x22×1×x21×9×x1×3×4=x25x+6

x25x+6=0,解得:x=2x=3

故答案为:x=2x=3

10.若无穷等比数列{an}的各项和为3,则首项a1的取值范围为 (0336) 

【考点】数列的极限.

【分析】依题意知|q|<1q0,由Sn==3q=1∈(﹣11),从而可求得a1的取值范围.

【解答】解:设等比数列的公比为q

依题意知|q|<1q0

Sn=

Sn==3

可得q=1∈(﹣11),

即﹣11110

解得0a133a16

故答案为:(0336).

11.已知正方形ABCD的边长为1M是正方形ABCD四边上或内部的动点,则的取值范围是[01]

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】如图所示,由数量积的意义可得:当点M位于边AD时,取得最小值;当点M位于边BC时,取得最大值.即可得出.

【解答】解:如图所示,

由数量积的意义可得:

当点M位于边AD时,取得最小值0

当点M位于边BC时,取得最大值:1

的取值范围是[01].

故答案为:[01].

12.定义=nN*)为向量=xnyn)到向量=xn+1yn+1)的一个矩阵变换,设向量=cosαsinα),O为坐标原点,则||= (n1

【考点】几种特殊的矩阵变换.

【分析】由题意可知,分别求得||,代入求得=cosxsinxcosx+sinx),及||,进而求得,及||,||,||,即可求得||=n1

【解答】解:由=

n=1 =cosαsinα),||=cos2α+sin2α=1=0

=cosxsinxcosx+sinx),

||===),

=2(﹣sinxcosx),

||==2=2

=2(﹣sinxcosxsinxcosx),

||=2=2=3

=4(﹣sinx,﹣cosx),

||=4=4=4

||=n1

故答案为:(n1

二、选择题(本大题满分12分,共4题,每题3)

13.用数学归纳法证明“1+a+a2++an+1=时,在验证n=1成立时,左边应该是(  )

A1+a+a2      B1+a+a2+a3 C1+a   D1

【考点】数学归纳法.

【分析】在验证n=1时,左端计算所得的项.只需把n=1代入等式左边即可得到答案.

【解答】解:用数学归纳法证明“1+a+a2++an+1=

在验证n=1时,把当n=1代入,左端=1+a+a2

故选:A

14.下列命题正确的是(  )

A.若an•bn=a0,则an0bn0

B.若an•bn=0,则an=0bn=0

C.若无穷数列{an}有极限,且它的前n项和为Sn,则=a1+a2++an

D.若无穷数列{an}有极限,则an=an+1

【考点】数列的极限.

【分析】对于A,可举an=nbn=,由数列极限的公式即可判断;对于B,可举an=nbn=,运用数列极限的公式即可判断;对于C,可举an=n1Sn=,求出极限即可判断;对于D,可举an=,求出极限,结合nn+1趋向于无穷,即可判断.

【解答】解:对于A,若an•bn=a0,可举an=nbn=

即有an不存在, =0,故A错;

对于B,若an•bn=0,可举an=nbn=,则an不存在, bn=0,故B错;

对于C,若无穷数列{an}有极限,且它的前n项和为Sn,可举an=n1Sn=

即有an=0 Sn=2,显然=a1+a2++an不成立,故C错;

对于D,若无穷数列{an}有极限,可举an= =0,显然=0,故D正确.

故选:D

15.如图,ABCD是平面上的任意四点,下列式子中正确的是(  )

A +=+    B +=+    C +=+    D +=+

【考点】向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义.

【分析】用不同的方法表示出同一向量,然后对式子进行化简验证.

【解答】解:∵=,∴,∴

故选:B

16.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若已知S6S7S7S8,则下列叙述中正确的个数有(  )

①S7是所有SnnN*)中的最大值;

②a7是所有annN*)中的最大值;

公差d一定小于0

④S9一定小于S6

A1  B2  C3  D4

【考点】数列的函数特性.

【分析】利用等差数列的性质求解.

【解答】解:∵a70a80,∴S7最大,故正确;

d0,∴a1最大,故错误;

s6s7S7S8可得S7S6=a70S8S7=a80

a8a7=d0,故正确;

S9S6=a7+a8+a9=3a80,故正确.

故选:C

三、解答题

17.已知,xy的方程组

1)求DDxDy

2)当实数m为何值时方程组无解;

3)当实数m为何值时方程组有解,并求出方程组的解.

【考点】线性方程组解的存在性,唯一性.

【分析】(1)根据方程组得解法求得D=m4Dx=2Dy=m2

2)由线性方程组解得存在性,当丨A=0时,方程组无解;根据行列式的展开,求得m的值;

3)由当0,方程组有唯一解,由(1)即可求得方程组的解.

【解答】解:(1=

D=m4Dx=2Dy=m2                           

2)由A=,当丨A=0

=m4=0,解得:m=4

∴当m=4,方程组无解                                    

3)当0,解得:m4,方程组有唯一解,

4×解得:y=,代入求得x=

∴方程的解集为:

18.已知等比数列{an}的首项为1,公比为q0q1),它的前n项和为Sn,且Tn=,求Tn的值.

【考点】数列的极限.

【分析】对q讨论,分q=10q1,运用等比数列的求和公式,以及数列极限的公式计算即可得到所求值.

【解答】解:(1)当

2)当

综上得

19.已知向量=17),=51),=21)(其中O为坐标原点),点P是直线OC上的一个动点.

1)若,求的坐标;

2)当取最小值时,求cosAPB的值.

【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算.

【分析】(1)点P是直线OC上的一个动点.可设=2xx).利用向量坐标运算、向量共线定理,即可得出.

2)利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出.

【解答】解:(1)∵点P是直线OC上的一个动点.

∴可设=2xx),

==12x7x),

==52x1x),

∴(12x)(1x)﹣(7x)(52x=0

解得x=

=

2

k=2时,取的最小值﹣8,此时

20.已知无穷等数列{an}中,首项a1=1000,公比q=,数列{bn}满足bn=lga1+lga2++lgan).

1)求数列{bn}的通项公式;

2)求数列{bn}的前n项和的最大值.

【考点】数列的求和.

【分析】(1)利用等比数列的通项公式可得an,再利用等差数列的前n项和公式即可得出.

2)利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出.

【解答】解:(1an=1000×=104n

=

lgan=4n

2)设数列{bn}的前n项之和为Tn,则=+

n=67时,Tn取得最大值

21.设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+qnN*pq为常数),a1=2a2=1a3=q3p

1)求pq的值;

2)求数列{an}的通项公式;

3)记集合M={n|λnN*},若M中仅有3个元素,求实数λ的取值范围.

【考点】数列递推式.

【分析】(1)由题意列关于pq的方程组,求解方程组得pq的值;

2)把(1)中求得的pq值代入Sn+1=pSn+q,取n=n1得另一递推式,作差后可得数列{an}是等比数列,进一步得到通项公式;

3)求出数列{an}的前n项和,代入λ,构造函数,利用作差法判断函数单调性,由单调性求得实数λ的取值范围.

【解答】解:(1)由题意,得

,解得

2)由(1)知,

n2时,

,得n2),

∴数列{an}是首项为2,公比为的等比数列.

{an}的通项公式为nN*);

3)由,得

,令

,∴fn)为递增数列,

f3)≤λf4)即可,即

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